|
Разделы Физики
КИНЕМАТИКА
ОСНОВЫ ДИНАМИКИ
СИЛЫ В ПРИРОДЕ
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИКИ
Законы сохранения в механике
Механические колебания
Волны
Молекулярно-кинетическая теория
Термодинамика
Электрическое поле
Постоянный электрический ток
Магнитное поле
Электромагнитные колебания и волны
Геометрическая оптика
Волновая оптика
Основы специальной теории относительности
Квантовая физика
Физика атома и атомного ядра
Основы специальной теории относительности
7.1 Постулаты СТО
7.2 Относительность промежутков времени
7.3 Относительность расстояний
7.4 Преобразования Лоренца
7.5 Элементы релятивисткой динамики
|
|
7.4. Преобразования Лоренца
Классические
преобразования Галилея несовместимы с постулатами СТО и, следовательно,
должны быть заменены другими преобразованиями. Эти новые преобразования должны
установить связь между координатами (x, y, z)
и моментом времени t события, наблюдаемого в
системе отсчета K, и координатами (x', y', z')
и моментом времени t' этого же события,
наблюдаемого в системе отсчета K'.
Кинематические
формулы преобразования координат и времени в СТО называются
преобразованиями Лоренца. Они были предложены в 1904 году еще до
появления СТО как преобразования, относительно которых инвариантны уравнения
электродинамики. Для случая, когда система K'
движется относительно K со скоростью υ
вдоль оси x, преобразования Лоренца имеют
вид:
K' → K K → K'
β = υ / c.
|
|
Из
преобразований Лоренца вытекает целый ряд следствий. В частности, из них следует
релятивистский эффект замедления времени и лоренцево сокращение длины. Пусть,
например, в некоторой точке x' системы
K' происходит процесс длительностью τ0 = t'2 – t'1
(собственное время), где t'1 и
t'2 – показания часов в
K' в начале и конце процесса. Длительность τ
этого процесса в системе K будет равна
Аналогичным
образом, можно показать, что из преобразований Лоренца вытекает релятивистское
сокращение длины. Одним из важнейших следствий из преобразований Лоренца
является вывод об относительности одновременности.
Пусть, например, в двух разных точках системы отсчета K'
(x'1 ≠ x'2)
одновременно с точки зрения наблюдателя в K'
(t'1 = t'2 = t')
происходят два события. Согласно преобразованиям Лоренца, наблюдатель в системе
K будет иметь
Следовательно, в
системе K эти события,
оставаясь пространственно разобщенными, оказываются
неодновременными. Более того, знак разности t2 – t1
определяется знаком выражения υ(x'2 – x'1),
поэтому в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в
то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие предшествует
первому. Этот вывод СТО не относится к событиям,
связанным причинно-следственными связями, когда одно
из событий является физическим следствием другого. Можно показать, что в СТО не
нарушается принцип причинности, и порядок следования
причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.
Относительность
одновременности пространственно-разобщенных событий можно проиллюстрировать на
следующем примере.
Пусть в системе
отсчета K' вдоль оси
x' неподвижно расположен длинный жесткий стержень. В центре
стержня находится импульсная лампа B, а на
его концах установлены двое
синхронизованных часов (рис. 7.4.1(a)), система K'
движется вдоль оси x системы
K со скоростью υ. В некоторый момент
времени лампа посылает короткие световые импульсы в направлении концов стержня.
В силу равноправия обоих направлений свет в системе K'
дойдет до концов стержня одновременно, и часы, закрепленные на концах стержня,
покажут одно и то же время t'. Относительно
системы K концы стержня движутся со
скоростью υ так, что один конец движется навстречу световому
импульсу, а другой конец свету приходится догонять. Так как скорости
распространения световых импульсов в обоих направлениях одинаковы и равны
c, то, с точки зрения наблюдателя в системе
K, свет раньше дойдет до левого конца стержня, чем
до правого (рис. 7.4.1(b)).
1
|
| Рисунок 7.4.1.
Относительность одновременности. Световой импульс достигает концов
твердого стержня одновременно в системе отсчета
K' (a) и не одновременно в системе
отсчета K (b).
|
Преобразования
Лоренца выражают относительный характер промежутков времени и расстояний.
Однако, в СТО наряду с утверждением относительного характера пространства и
времени важную роль играет установление инвариантных физических величин, которые
не изменяются при переходе от одной системе отсчета к другой. Одной из таких
величин является скорость света c в вакууме,
которая в СТО приобретает абсолютный характер. Другой важной инвариантной
величиной, отражающей абсолютный характер пространственно-временных связей,
является интервал между событиями.
Пространственно-временной интервал определяется в СТО
следующим соотношением:
где t12 – промежуток времени
между событиями в некоторой системе отсчета, а l12
– расстояние между точками, в которых происходят рассматриваемые события, в той
же системе отсчета. В частном случае, когда одно из событий происходит в начале
координат (x1 = y1 = z1 = 0)
системы отсчета в момент времени t1 = 0,
а второе – в точке с координатами x, y, z
в момент времени t,
пространственно-временной интервал между этими событиями записывается в виде
С помощью
преобразований Лоренца можно доказать, что пространственно-временной интервал
между двумя событиями не изменяется при переходе из одной инерциальной системы в
другую. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность
расстояний и промежутков времени, протекание физических процессов носит
объективный характер и не зависит от системы отсчета.
Если одно из
событий представляет собой вспышку света в начале координат системы отсчета при
t = 0, а второе – приход светового фронта в
точку с координатами x, y, z
в момент времени t (рис. 7.1.3), то
и, следовательно, интервал для этой пары событий s = 0.
В другой системе отсчета координаты и время второго события будут другими, но и
в этой системе пространственно-временной интервал s'
окажется равным нулю, так как
Для любых двух
событий, связанных между собой световым сигналом, интервал равен нулю.
Из
преобразований Лоренца для координат и времени можно получить
релятивистский закон сложения скоростей. Пусть, например, в системе
отсчета K' вдоль оси x'
движется частица со скоростью
Составляющие скорости частицы u'x
и u'z
равны нулю. Скорость этой частицы в системе K
будет равна
С помощью
операции дифференцирования из формул преобразований Лоренца можно найти:
Эти соотношения
выражают релятивистский закон сложения скоростей для случая, когда частица
движется параллельно относительной скорости
систем отсчета K и K'.
При υ << c
релятивистские формулы переходят в формулы классической механики:
| ux = u'x + υ, uy = 0, uz = 0. |
Если в системе
K' вдоль оси x'
распространяется со скоростью u'x = c
световой импульс, то для скорости ux
импульса в системе K получим
Таким образом, в
системе отсчета K световой импульс также
распространяется вдоль оси x со скоростью
c, что согласуется с постулатом об
инвариантности скорости света.
|
